1+1为什么等于2————致15年前的自己

如果你期待这里是哥德巴赫猜想的证明啥的，那你可能要失望了，这里只是一个纯粹的自然数加法证明。

引言

15年前，和同学闲聊的我被一个问题难住了。

1
2
3
4
5
：1+1等于几？

：2

：1+1为什么等于2？

面对这个问题我一时语塞，对于一个没接触过高等数学的中学生来说，这种抽象的问题没有任何切入点和思路，我甚至回家后还搜索了百度，但是也没得到自己满意的答案（当然如果那个时候我学会科学上网，就是另一个结局了）。

于是乎，这个问题就成为了陪伴我这几十年来的疑惑，也成为了我对数学爱好的起源（之一？），甚至可以说我当年填报专业选择数学也是有这方面的因素。当然，本科阶段的学习过后我就明白为啥1+1等于2了，不过我一直想找个机会用最直观最简单的方式把1+1为什么等于2解释给15年前的我，这也是我写这篇文章的初衷。

定义自然数

首先，我们思考一个问题，为什么自然数域$\mathbb{N}_0$是一个可数无上界无穷的集合？为什么自然数的增长顺序是

而不是以下这些呢？

因为事实就是，自然数是被定义出来的

为了理解这个定义过程我们需要抛弃原有的自然数认知：1并不是本来就存在的，1只是一个符号，它代表的就是0的后继数(这个后面会展开)，同理2也是。0,1,2,3的增长顺序并不是因为它本身就长这样，而是数学家定义了自然数后，用1,2,3,4,…这串符号来代表每个自然数域中的每个数，并让这个数字系统变为标准

那么，自然数是如何定义的？

自然数的定义其实就是皮亚诺公理：

1. $0$是自然数；

2. 每一个确定的自然数$a$，都有一个确定的后继数$S(a)$，$S(a)$也是自然数；

3. 对于每个自然数$b$、$c$，$b=c$当且仅当$S(b)=S(c)$；

4. $0$不是任何自然数的后继数；

5. 任意关于自然数的命题，如果能证明：它对自然数$0$是真，且假定它对自然数$a$为真时，可以证明对$S(a)$也真。那么，该命题对所有自然数都为真。

公理2的定义告诉我们，自然数的增长是唯一的，一个数的后继数不可能有两个，因此图2所示0的下一个数同时是1和2的情况就不可能存在了，即自然数的增长不会出现”分岔“了。

但是，只看公理2的话，自然数增长的”合并“也是可能出现的，如图3所示，1和2的下一个数都是确定的3。所以，公理3就告诉我们，如果1和2的后继数都是3，那么1和2其实是相等的，但很明显$1≠2$，所以这种”合并“的增长也不会出现了。

那么，环形的增长呢？如图4所示，某个大数$N$的后继数是0时，公理2和3也是满足的。所以在公理4中，我们严格规定了0不能是任何自然数的后继数，因此，自然数的增长也不能是“环状”的了。

最后，为了限定自然数的外延，防止部分有理数进入自然数的定义（例如0.5等），同时使一些运算在自然数内完备（如加法和乘法，任何两个自然数的加法和乘法操作结果都属于自然数），我们会有公理5。假设没有公理5，那我们可以直接定义$0$和$1$之间有一个“自然数”$0.5$使$S(0)=0.5$，$S(0.5)=1$，然后我们下一步定义加法的时候就会发现，加法对于自然数不完备了（$1+0.5=1.5\not\in\mathbb{N}_0$）(当然加法这里我们可以继续定义$1.5,2.5,3.5$等，但如果把加法换成乘法，这里的定义就复杂得多了）这种定义下的自然数便是非标准数学系了

到此为止，自然数被定义，它是一个可数无上界无穷的集合，增长顺序为图1所示。

定义加法

同理，加法也是被定义的：

1. 对于任意自然数$m$，$0+m=m$

2. 对于任意自然数$m$和$n$，$S(m)+n=S(m+n)$

1+1=2

由加法的第二条定义得知：$1+1=S(0)+1=S(0+1)$

由加法的第一条定义得知：$S(0+1)=S(1)=2$

至此$1+1=2$

更多？

这里再展开一下加法结合律和交换律的证明吧，因为很明显1+1=2的证明并没有用到皮亚诺公理的第五条，这里用结合律和交换律的证明来强化一下第五条的使用

m+0=m

首先证明$m+0=m$，因为在没有交换律的前提下我们并不能得出$0+m=m+0=m$

当$m=0$时，由于加法第一条定义可以得出$0+0=0$，所以成立

假设$m$为$a$时该命题成立，那么我们有$a+0=a$，那么$S(a)+0=S(a+0)=S(a)$，可以证明对于$S(a)$该命题也成立，根据皮亚诺定理，我们可以得知该命题对所有自然数为真

$m+0=m$得证

n+S(m)=S(n+m)

当$n=0$时,$0+S(m)=S(m)=S(0+m)$，成立

假设$n$为$a$时该命题成立，则$a+S(m)=S(a+m)$，那么$S(a)+S(m)=S(a+S(m))=S(S(a+m))=S(S(a)+m)$，可以证明对于$S(a)$该命题也成立，根据皮亚诺定理，我们可以得知该命题对所有自然数为真

结合律

即证明$(a+b)+c=a+(b+c)$

当$c=0$时，$(a+b)+0=a+b=a+(b+0)&，成立

假设$c$为$n$时该命题成立，则$(a+b)+n=a+(b+n)$，那么$(a+b)+S(n)=S((a+b)+n)=S(a+(b+n))=a+S(b+n)=a+(b+S(n))$，可以证明对于$S(n)$也成立，根据皮亚诺定理，我们可以得知该命题对所有自然数为真

交换律

即证明$m+n=n+m$

当$m=0$时，由上面的命题可以得出$0+n=n+0$，所以成立

假设$m$为$a$时该命题成立，那么我们有$a+n=n+a$，那么$S(a)+n=S(a+n)=S(n+a)=n+S(a)$，可以证明对于$S(a)$该命题也成立，根据皮亚诺定理，我们可以得知该命题对所有自然数为真

结语

至此，15年前的我应该也能明白1+1为什么等于2了吧

references

[1] https://www.guokr.com/article/6556/

[2] https://www.zhihu.com/question/23866990/answer/128912950

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